関数の弾力性

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正の変数（正の入力、正の出力）の正の微分可能関数 f の弾力性または点弾力性は、点 a において次のように定義される^[1][2]。

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

または同値的に

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}}$

したがって、これは点 ${\displaystyle (a,f(a))}$ からの無限小の変化に対して、入力 ${\displaystyle x}$ の相対変化に対する関数の出力 ${\displaystyle f(x)}$ の相対変化の比率である。同値的に、これは関数の対数の無限小変化を引数の対数の無限小変化で割った比率である。多入力・多出力の場合への一般化も文献に存在する^[3][4]。

関数の弾力性が一定 ${\displaystyle \alpha }$ であるのは、その関数が ${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$（ただし ${\displaystyle C>0}$ は定数）の形を持つ場合に限られる。

ある点における弾力性は、2点間の弧弾力性の間隔をゼロに近づけたときの極限である。

弾力性の概念は、経済学や代謝制御解析（英語版）（MCA）で広く用いられており、それぞれ弾力性や弾力性係数（英語版）を参照。