マーシャル需要関数

以下では2財、1と2を考える。

1. 効用関数がコブ＝ダグラス型関数の場合：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.}$

制約付き最適化によりマーシャル需要関数は：

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. 効用関数がCES型関数の場合：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

このとき

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

いずれも選好が厳密に凸であるため、需要は一意で連続である。

3. 効用関数が線形効用関数の場合：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

効用関数は弱凸であり、需要は一意でない。${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$のとき、消費者は所得を任意の比率で分配しても同じ効用を得る。

4. 限界代替率が逓減しない効用関数の場合：

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad \alpha >1.}$

効用関数は凸でなく、需要は非連続である。${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$なら消費者は財1のみを需要し、${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$なら財2のみを需要する（${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$では財1だけを買うか財2だけを買うかという2つの異なる需要バンドルが存在する）。

出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2025年8月）

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1 
• Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory (Second ed.). Hinsdale: Dryden Press. pp. 90–93. ISBN 0-03-020831-9 
• Silberberg, E. (2008). Hicksian and Marshallian Demands. London: Palgrave Macmillan, London. ISBN 978-1-349-95121-5 
• “Consumer Theory” (2004年10月). 2021年4月22日閲覧。
• Wong, Stanley (2006). Foundations of Paul Samuelson's revealed preference theory (Revised ed.). Routledge. ISBN 0-203-34983-0. http://www.library.fa.ru/files/Wong.pdf 2021年4月19日閲覧。