シェパードの補題

消費者理論において、シェパードの補題は、効用水準 ${\displaystyle u}$ と価格ベクトル ${\displaystyle \mathbf {p} }$ が与えられたときの財 ${\displaystyle i}$ の需要は、支出関数を当該財の価格で偏微分した値に等しいと述べる。

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}}$

ここで、${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)}$ は財 ${\displaystyle i}$ のヒックス需要、${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$ は支出関数であり、いずれも価格ベクトル ${\displaystyle \mathbf {p} }$ と効用 ${\displaystyle u}$ の関数である。

同様に、企業理論においては、費用関数 ${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ を要素価格で偏微分すると、それが各投入要素の条件付き要素需要となる。

${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)={\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y)}{\partial w_{i}}}}$

ここで、${\displaystyle x_{i}(\mathbf {w} ,y)}$ は要素 ${\displaystyle i}$ の条件付き要素需要、${\displaystyle c(\mathbf {w} ,y)}$ は費用関数であり、いずれも要素価格ベクトル ${\displaystyle \mathbf {w} }$ と産出量 ${\displaystyle y}$ の関数である。

シェパードの元の証明は距離公式を用いていたが、現代的な証明では包絡線定理が用いられる^[3]。