ホテリングの補題

${\displaystyle p}$ を変動価格、${\displaystyle w}$ を各投入要素の一定コストとする。${\displaystyle x:{\mathbb {R} ^{+}}\rightarrow X}$ を価格から実行可能な投入選択集合 ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} ^{+}}}$ への写像とし、${\displaystyle f:{\mathbb {R} ^{+}}\rightarrow {\mathbb {R} ^{+}}}$ を生産関数、${\displaystyle y(p)\triangleq f(x(p))}$ を純供給とする。

最大利潤は次のように表される。

${\displaystyle \pi (p)=\max _{x}p\cdot y(p)-w\cdot x(p)}$

このとき、利潤 ${\displaystyle \pi }$ が ${\displaystyle p}$ において微分可能ならば、利潤最大化された純供給は次式で与えられる。

${\displaystyle y^{*}(p)={\frac {d\pi (p)}{dp}}}$

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この補題は包絡線定理の系である。

最大利潤は${\displaystyle \pi (p,x^{*})=p\cdot f(x^{*}(p))-w\cdot x^{*}(p)}$ただし${\displaystyle x^{*}}$と書き換えられ、ここで ${\displaystyle x^{*}}$ は ${\displaystyle y^{*}}$ に対応する利潤最大化投入である。最適性条件から、一次条件は次のようになる。

${\displaystyle x^{*}}$ において ${\displaystyle p}$ で微分すると、

${\displaystyle {\frac {d\pi }{dp}}={\frac {\partial \pi }{\partial x}}{\bigg |}_{x=x^{*}}{\frac {\partial x}{\partial p}}+{\frac {\partial \pi }{\partial p}}={\frac {\partial \pi }{\partial p}}=f(x^{*}(p))=y^{*}(p)}$

となり、証明が完了する。

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次の例を考える^[1]。生産物 ${\displaystyle y}$ の価格を ${\displaystyle p}$、投入物 ${\displaystyle x_{1}}$ と ${\displaystyle x_{2}}$ の価格をそれぞれ ${\displaystyle w_{1}}$ と ${\displaystyle w_{2}}$ とし、生産関数を ${\displaystyle y=x_{1}^{1/3}x_{2}^{1/3}}$ とする。非最大化利潤関数は ${\displaystyle \pi (p,w_{1},w_{2},x_{1},x_{2})=py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}}$ である。

利潤最大化条件から、入力と出力価格の関数としての最大化利潤関数は ${\displaystyle \pi (p,w_{1},w_{2})={\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}w_{2}}}}$ となる。

ホテリングの補題によれば、最大化利潤関数を価格で偏微分すれば利潤最大化された出力や投入が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{2})}{\partial p}}=y={\frac {1}{9}}{\frac {p^{2}}{w_{1}w_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{2})}{\partial w_{1}}}=-x_{1}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}^{2}w_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{2})}{\partial w_{2}}}=-x_{2}=-{\frac {1}{27}}{\frac {p^{3}}{w_{1}w_{2}^{2}}}}$

ホテリングの補題が与えるのは純供給であり、出力に対しては正、投入に対しては負になる。これは、利潤は生産物価格が上昇すると増加し、投入価格が上昇すると減少するためである。