間接効用関数

効用関数がコブ＝ダグラス型 ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.6}x_{2}^{0.4}}$ の場合を考える。このとき、マーシャル需要関数は次のように与えられる^[2]。

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2})={\frac {0.6w}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2})={\frac {0.4w}{p_{2}}}}$

ここで ${\displaystyle w}$ は消費者の所得である。間接効用関数 ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)}$ は、この需要関数を効用関数に代入することで得られる。

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},w)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{0.6}(x_{2}^{*})^{0.4}=\left({\frac {0.6w}{p_{1}}}\right)^{0.6}\left({\frac {0.4w}{p_{2}}}\right)^{0.4}=(0.6^{0.6}\cdot 0.4^{0.4})w^{1.0}p_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}=Kp_{1}^{-0.6}p_{2}^{-0.4}w,}$

ただし ${\displaystyle K=(0.6^{0.6}\cdot 0.4^{0.4})}$ である。効用関数は引数として与えられた数量に対する効用を示すが、それが消費者にとって最適かどうかには依存しない。これに対して間接効用関数は、与えられた価格と所得に対して消費者が最適に需要関数を導出したと仮定している点が異なる。

• Cornes, Richard (1992). “Individual Consumer Behavior: Direct and Indirect Utility Functions”. Duality and Modern Economics. New York: Cambridge University Press. pp. 31–62. ISBN 0-521-33601-5 
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• Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions (Second ed.). Hinsdale: Dryden Press. pp. 57–59. ISBN 0-03-020831-9 

表 話 編 歴 ミクロ経済学
分野	価格理論 ゲーム理論 契約理論 メカニズム・デザイン 社会選択理論 厚生経済学
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