凸選好

実数の順序関係における「大なりイコール」${\displaystyle \geq }$に対応して、以下で用いる記号${\displaystyle \succeq }$は「少なくとも同等に好ましい」（選好充足において）と解釈できる。

同様に、${\displaystyle \succ }$は「厳密により好ましい」と、${\displaystyle \sim }$は「同等に好ましい」と解釈できる。

消費バンドル（複数の財の数量の組合せ）をx、y、zで表す。消費集合X上の選好関係${\displaystyle \succeq }$は、以下を満たすとき凸型と呼ばれる。

${\displaystyle x,y,z\in X}$ であり、かつ ${\displaystyle y\succeq x}$ および ${\displaystyle z\succeq x}$であるとき、

任意の ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ に対して

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succeq x}$。

すなわち、あるバンドルxに対して、それ以上に好ましいとされる2つのバンドルyとzがあれば、それらの重み付き平均もx以上に好ましいとされる。

さらに、選好関係${\displaystyle \succeq }$は厳密に凸型と呼ばれるのは、以下を満たすときである。

${\displaystyle x,y,z\in X}$ であり、 ${\displaystyle y\succeq x}$, ${\displaystyle z\succeq x}$, かつ ${\displaystyle y\neq z}$であるとき、

任意の ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ に対して

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succ x}$。

すなわち、異なる2つのバンドルがあるバンドルx以上に好ましいとされるならば、その重み付き平均（両方の財を正の割合で含む）は、xよりも厳密に好ましいとされる^[1][2]。

消費バンドルをxとyとする。選好関係${\displaystyle \succeq }$は、以下を満たすとき凸型と呼ばれる。

${\displaystyle x,y\in X}$ で ${\displaystyle y\succeq x}$ のとき、

任意の ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ に対して

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succeq x}$。

すなわち、yがxより好ましいならば、yとxの混合もまたxより好ましい^[3]。

また、選好関係は以下を満たすとき厳密に凸型と呼ばれる。

${\displaystyle x,y\in X}$ で ${\displaystyle y\sim x}$ かつ ${\displaystyle x\neq y}$ のとき、

任意の ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$ に対して

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ x}$、

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ y}$。

すなわち、等価とされる2つのバンドルの重み付き平均は、それぞれのバンドルよりも好ましいとされる^[4]。

Summarize Timeline Fact Check

1. 単一財のみが存在する場合、任意の弱単調増加の選好関係は凸型である。これは、もし ${\displaystyle y\geq x}$ ならば、yとxのあらゆる重み付き平均もまた ${\displaystyle \geq x}$ だからである。
2. 財1と財2が存在する経済を考える。次のレオンチェフ型効用関数で表される選好関係を考える。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})}$

この選好関係は凸型である。証明：xとyが等価なバンドルであると仮定する。すなわち、${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$。両方のバンドルで最小の財が同じであれば（例: 財1）、${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}}$ であり、任意の重み付き平均も同じ量の財1を持つため、重み付き平均もxおよびyと等価である。一方、最小財が異なれば（例: ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$かつ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$）、${\displaystyle x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}}$である。このとき、${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$かつ${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$であるため、${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$。この選好は凸型であるが厳密凸ではない。

1. 線形効用関数で表される選好は凸型であるが厳密凸ではない。${\displaystyle x\sim y}$であれば、その任意の凸結合もまた両者と等価となる。
2. 次の効用関数で表される選好を考える。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})}$

この選好は凸型ではない。証明：${\displaystyle x=(3,5)}$と${\displaystyle y=(5,3)}$を考える。このとき、両者の効用が5で等価である。しかし、凸結合${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,4)}$は効用4であり、両者よりも劣る。