一般化双曲型分布

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一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})^{(\lambda -{\frac {1}{2}})/2}\\&\times K_{\lambda -1/2}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})\exp(\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}$

ここで、

${\displaystyle a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )={\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{\lambda /2}}{{\sqrt {2\pi }}\alpha ^{\lambda -1/2}\delta ^{\lambda }K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}$

K_λ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。

${\displaystyle \mu }$ 位置 (location) パラメータ（実数）

${\displaystyle \lambda }$ （実数）

${\displaystyle \alpha }$ （実数）

${\displaystyle \beta }$ 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）

${\displaystyle \delta }$ 尺度 (scale) パラメータ（実数）

${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )}

λ > 0 のとき、${\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha }$

λ = 0 のとき、${\displaystyle \delta >0,\;|\beta |<\alpha }$

λ < 0 のとき、${\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha }$

本節では、以下

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{u}&=\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\\zeta &=\zeta _{u=0}\end{aligned}}}$

とする。

期待値は以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\mu +{\frac {\delta \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\mu +{\frac {\delta ^{2}\beta }{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}$

分散は以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&={\frac {\delta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}+{\frac {\delta ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\delta ^{2}}{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}+{\frac {\delta ^{4}\beta ^{2}}{\zeta ^{2}}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}$

特性関数は以下の式で与えられる。

${\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}$

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双曲型分布（英語版） (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質^[1]を利用する。

確率密度関数

${\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\mathrm {hyp} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}{2\delta \alpha K_{1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\exp(-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}$

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

正規逆ガウス分布（英語版） (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質^[1]を利用する。

確率密度関数

${\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\operatorname {nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\alpha \delta }{\pi }}\exp(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+\beta (x-\mu )){\frac {K_{1}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})}{\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}\end{aligned}}}$

正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)

${\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\delta ^{\nu }|\beta |^{(\nu +1)/2}K_{(v+1)/2}\left({\sqrt {(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})\beta ^{2}}}\right)\exp(\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi }}\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)^{(\nu +1)/2}}}\end{aligned}}}$

自由度 ν の（対称な）スチューデントのt分布となる。

${\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha =0,\beta =0,\delta ={\sqrt {\nu }},\mu )\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\delta \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left[1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\delta ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\end{aligned}}}$

平均 μ + βσ²、分散 σ² の正規分布となる。