フレシェ分布

モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している^[2][3]。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている^[4]。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布、ワイブル分布（タイプIII）の3つのいずれか1つのみであることを示した^[4]。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた^[5]。

Summarize Timeline Fact Check

フレシェ分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ if }}x>0.}$

である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は

${\displaystyle f(x)=\alpha x^{-\alpha -1}\;e^{-x^{-\alpha }}}$

となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。

• 期待値は${\displaystyle E[X]=\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\text{ if }}\alpha >1}$となる。
• 分散は${\displaystyle {\text{Var}}(X)=\Gamma (1-{\tfrac {2}{\alpha }})-{\big (}\Gamma (1-{\tfrac {1}{\alpha }}){\big )}^{2}{\text{ if }}\alpha >2}$となる。

ここで、${\displaystyle \Gamma \left(\right)}$はガンマ関数であり、

${\displaystyle \Gamma (z):=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx}$

である。

ガンベル分布（タイプI）、フレシェ分布（タイプII）、ワイブル分布（タイプIII）は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる^[6]。

位置パラメータ m（最小値）と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる^[7]。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は

${\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}$

である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{s}}\;\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-1-\alpha }\;e^{-({\frac {x-m}{s}})^{-\alpha }}}$

となる。

水文学

フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。

金融

フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた^[7]。

国際経済学（貿易論）

リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 (${\displaystyle Z_{i}}$) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した^[8]。

${\displaystyle F_{i}(z)=\Pr(Z_{i}\leq z)=e^{-T_{i}z^{-\theta }}}$

ここで、${\displaystyle \theta >1}$ が形状パラメータ（定義式の${\displaystyle \alpha }$）に相当する。${\displaystyle \theta }$ が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。${\displaystyle T_{i}>0}$ は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。${\displaystyle T_{i}}$が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる^[8]。