ガウス＝クズミン分布

今

${\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}$

を (0, 1) 内に一様に分布する確率変数 x の連分数展開とする。このとき

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)}$

が成立する。また同値であるが、

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}$

とすれば、

${\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}$

は n が無限大に向かうに従ってゼロに近付く。