対数コーシー分布

対数コーシー分布は台 ${\displaystyle (0,\infty )}$ を持ち、確率密度関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{\pi \sigma x}}{\frac {1}{1+\left({\dfrac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{\pi x}}{\frac {\sigma }{(\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$

である。ここで ${\displaystyle \mu }$ は実数、${\displaystyle \sigma >0}$^[1][2]。 ${\displaystyle \sigma }$ が既知のとき、尺度母数は ${\displaystyle e^{\mu }}$ である^[1]：

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{e^{\mu }}}f(x/e^{\mu };0,\sigma )}$

${\displaystyle \mu }$ と ${\displaystyle \sigma }$ は対応するコーシー分布の位置母数と尺度母数である^[1][3]。著者によっては ${\displaystyle \mu }$ と ${\displaystyle \sigma }$ をそれぞれ対数コーシー分布の位置・尺度母数と定義することもある^[3]。

${\displaystyle \mu =0}$ かつ ${\displaystyle \sigma =1}$ のときは標準コーシー分布と対応して、確率密度関数は次のように簡略化される^[4]。

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi x(1+(\ln x)^{2})}}}$

また、累積分布関数は

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}$

である。

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${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \sigma =1}$ のとき、生存関数は^[4]

${\displaystyle S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)}$

ハザード率 は^[4]

${\displaystyle \lambda (x;0,1)=\left(x\pi \left(1+\left(\ln x\right)^{2}\right)\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right)\right)^{-1}}$

である。ハザード率は分布の始端と終端とで減少するが、途中に増加する区間が存在する場合もある^[4]。

対数コーシー分布は裾の重い分布の一例である^[5]。これを「非常に裾の重い分布（super-heavy tailed distribution）」とする著者もいる。なぜなら、パレート型ヘヴィーテイルよりも裾が重い（つまり対数関数的にしか減衰しない）ためである^[5]。コーシー分布と同じく、対数コーシー分布では一切の（非自明）モーメントが無限大になる^[4]。平均はモーメントの一種なので対数コーシー分布は有限の平均、および標準偏差を持たない^[6][7]。

対数コーシー分布はいくつかのパラメータに関してのみ無限分解可能分布（英語版）となる^[8]。対数正規分布、対数t分布（英語版）、ワイブル分布と同様に、対数コーシー分布は一般化ベータ分布（英語版）の特別な場合である^[9][10]。実は対数コーシー分布は対数t分布の特別な場合であり、これはコーシー分布が自由度1のt分布のことであるのと同様である^[11][12]。

コーシー分布が安定分布なので対数コーシー分布は対数安定的であり^[13]、対数安定分布は x=0 を極とする^[12]。