逆ガンマ分布 From Wikipedia, the free encyclopedia 母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数（英語版） β > 0 {\displaystyle \beta >0} 尺度母数台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} 確率密度関数 β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} 累積分布関数 Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} 逆ガンマ分布 確率密度関数 累積分布関数母数 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 形状母数（英語版） β > 0 {\displaystyle \beta >0} 尺度母数台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} 確率密度関数 β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} 累積分布関数 Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} 期待値 β α − 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}} for α > 1 {\displaystyle \alpha >1} 中央値 β Γ − 1 ( α , Γ ( α ) / 2 ) {\displaystyle {\frac {\beta }{\Gamma ^{-1}(\alpha ,\Gamma (\alpha )/2)}}} 最頻値 β α + 1 {\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}} 分散 β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}} for α > 2 {\displaystyle \alpha >2} 歪度 4 α − 2 α − 3 {\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}} for α > 3 {\displaystyle \alpha >3} 超過尖度 6 ( 5 α − 11 ) ( α − 4 ) ( α − 3 ) {\displaystyle {\frac {6(5\alpha -11)}{(\alpha -4)(\alpha -3)}}} for α > 4 {\displaystyle \alpha >4} エントロピー α + ln ( β Γ ( α ) ) − ( 1 + α ) ψ ( α ) {\displaystyle \alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(1+\alpha )\psi (\alpha )} , ψ {\displaystyle \psi } はディガンマ関数モーメント母関数 なし特性関数 2 ( − i β x ) α / 2 K α ( 2 − i b x ) Γ ( α ) {\displaystyle {\frac {2(-i\beta x)^{\alpha /2}K_{\alpha }(2{\sqrt {-ibx}})}{\Gamma (\alpha )}}} , K {\displaystyle K} は第2種変形ベッセル関数フィッシャー情報量 {{{フィッシャー情報量}}}テンプレートを表示 逆ガンマ分布（ぎゃくガンマぶんぷ、英語: inverse gamma distribution）は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。 モーメント Summarize Timeline Top Qs Fact Check 逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数（英語版） α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 、尺度母数 β > 0 {\displaystyle \beta >0} で、台 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} の上で f ( x ; α , β ) = β α Γ ( α ) e − β / x x α + 1 {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}} と定義される[1]。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数である。尺度母数について f ( x ; α , β ) = 1 β f ( x / β ; α , 1 ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)} である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。 F ( x ; α , β ) = Γ ( α , β / x ) Γ ( α ) {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}} ここで分子の Γ {\displaystyle \Gamma } は不完全ガンマ関数である。 α > n {\displaystyle \alpha >n} の場合、 n {\displaystyle n} 次のモーメントは E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − n ) ⋯ ( α − 1 ) {\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}} である[2]。 期待値と分散はそれぞれ E [ X ] = β α − 1 ( α > 1 ) , V [ X ] = β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 ( α > 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}} である。 他の分布との関係 I n v G a m m a ( α , 1 / 2 ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)} は I n v C h i 2 ( 2 α ) {\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )} （逆カイ二乗分布（英語版）） I n v G a m m a ( 1 / 2 , β ) {\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )} は L e v y ( 0 , 2 β ) {\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )} （レヴィ分布） X ∼ G a m m a ( α , θ ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\theta )} （ガンマ分布、 θ {\displaystyle \theta } はガンマ分布にとっての尺度母数）ならば 1 / X ∼ I n v G a m m a ( α , 1 / θ ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )} 注意： X ∼ G a m m a ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )} （ガンマ分布、 β {\displaystyle \beta } はガンマ分布にとってのrate parameter（英語版））ならば 1 / X ∼ I n v G a m m a ( α , β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )} X ∼ I n v G a m m a ( 1 , β ) {\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )} ならば 1 / X ∼ E x p ( β ) {\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )} （指数分布） 脚注 ↑ “InverseGammaDistribution—Wolfram言語ドキュメント”. reference.wolfram.com. 2022年11月29日閲覧。 ↑ John D. Cook (2008年10月3日). “Inverse Gamma Distribution”. 2022年11月29日閲覧。 参考文献 Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer. Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR1825758. Zbl 1263.62022. 関連項目 ガンマ分布 表話編歴確率分布離散単変量で有限台 ベンフォード ベルヌーイ ベータ二項 二項 categorical（英語版） 超幾何 ポワソン二項 ラーデマッハ（英語版） 離散一様 ジップ ジップ–マンデルブロー（英語版） 離散単変量で無限台 ベータ負二項（英語版） ボレル（英語版） コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版） 離散位相型（英語版） ドラポルト（英語版） 拡張負二項（英語版） ガウス–クズミン 幾何 対数（英語版） 負の二項 放物フラクタル（英語版） ポワソン スケラム（英語版） ユール–サイモン（英語版） ゼータ（英語版） 連続単変量で有界区間に台を持つ 逆正弦 ARGUS（英語版） バルディング–ニコルス（英語版） ベイツ（英語版） ベータ beta rectangular（英語版） アーウィン–ホール クマラスワミー（英語版） ロジット-正規（英語版） 非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版） 対数一様 三角 U-quadratic（英語版） 一様 ウィグナー半円 連続単変量で半無限区間に台を持つ ベニーニ（英語版） ベンクタンダー第一種（英語版） ベンクタンダー第二種（英語版） 第2種ベータ Burr（英語版） カイ二乗 カイ（英語版） Dagum（英語版） デービス（英語版） 指数-対数（英語版） アーラン 指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版） フレシェ ガンマ gamma/Gompertz（英語版） 一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版） 半正規 Hotelling's T-squared（英語版） 超アーラン（英語版） 超指数（英語版） hypoexponential（英語版） 逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版） 逆ガウス 逆ガンマ コルモゴロフ レヴィ 対数コーシー 対数ラプラス（英語版） 対数ロジスティック（英語版） 対数正規 ロマックス（英語版） 行列指数（英語版） マクスウェル–ボルツマン マクスウェル–ユットナー（英語版） ミッタク-レフラー（英語版） 仲上（英語版） 非心カイ二乗 パレート 位相型（英語版） poly-Weibull（英語版） レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版） ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版） 切断正規 タイプ2ガンベル（英語版） ワイブル 離散ワイブル（英語版） ウィルクスのラムダ（英語版） 連続単変量で実数直線全体に台を持つ コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー） 指数冪（英語版） フィッシャーの z（英語版） ガウスの q（英語版） 一般正規（英語版） 一般化双曲型 幾何安定（英語版） ガンベル ホルツマルク（英語版） 双曲線正割 ジョンソンの SU（英語版） ランダウ ラプラス 非対称ラプラス（英語版） ロジスティック 非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版） 歪正規（英語版） スラッシュ 安定 スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版） トレイシー–ウィダム（英語版） 分散ガンマ（英語版） フォークト 連続単変量でタイプの変わる台を持つ 一般極値 一般パレート（英語版） マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版） トゥーキーのラムダ（英語版） 混連続-離散単変量 rectified Gaussian（英語版） 多変量 (結合) 【離散】 エウェンズ（英語版） 多項 ディリクレ多項（英語版） 負多項（英語版） 【連続】 ディリクレ 一般ディリクレ（英語版） 多変量正規 多変量安定（英語版） 多変量 t（英語版） 正規逆ガンマ（英語版） 正規ガンマ（英語版） 【行列値】 逆行列ガンマ（英語版） 逆ウィッシャート（英語版） 行列正規（英語版） 行列 t（英語版） 行列ガンマ（英語版） 正規逆ウィッシャート（英語版） 正規ウィッシャート（英語版） ウィッシャート 方向 【単変量 (円周) 方向】 円周一様（英語版） 単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版） 【二変量 (球面)】 ケント（英語版） 【二変量 (トロイダル)】 二変数フォン・ミーゼス（英語版） 【多変量】 フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版） ビンガム（英語版） 退化と特異 【退化】 ディラックのデルタ関数 【特異】 カントール 族 円周（英語版） 混合ポワソン（英語版） 楕円（英語版） 指数 自然指数（英語版） 位置尺度（英語版） 最大エントロピー（英語版） 混合（英語版） ピアソン（英語版） トウィーディ（英語版） wrapped（英語版） サンプリング法（英語版） 逆関数サンプリング法 マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング） 粒子フィルタ ボックス＝ミュラー法 棄却サンプリング ジッグラト法（英語版） マルサグリア法（英語版） 一覧（英語版） カテゴリ Related Articles~TimelinesTop QsFact Checks
、尺度母数 
で、台 
の上で
はガンマ関数である。尺度母数について
は不完全ガンマ関数である。
の場合、
次のモーメントは![{\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35effbeffc3640e602945ae592382abca91452c0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384b226e41357b4f24f882870ad80ad748afc3fd)
