Loi réciproque
From Wikipedia, the free encyclopedia
En probabilités et en statistique, la loi réciproque, également appelée distribution log-uniforme, est une loi de probabilité continue. Elle se caractérise par le fait que sa densité de probabilité, dans son support de la distribution, est proportionnelle à l'inverse de la variable.
![{\displaystyle [a,b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
| loi réciproque | |
| Fonction de masse | |
 Fonction de répartition | |
| Paramètres | |
|---|---|
| Support | |
| Densité de probabilité | |
| Fonction de répartition | |
| Espérance | |
| Médiane | |
| Mode | |
| Variance | |
modifier  |
|
La loi réciproque est un exemple de loi inverse, et l'inverse d'une variable aléatoire avec une loi réciproque suit elle-même une loi réciproque.
Définition
La densité de probabilité de la loi réciproque est
![{\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}1\!\!1_{[a,b]}(x)\quad {\text{ pour }}a>0.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be093b5d45af68bfff42b22afe89e488d2fafa9)
Ici, et sont les paramètres de la distribution, qui sont les bornes inférieure et supérieure du support, et est le logarithme naturel. La fonction de répartition est
![{\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}1\!\!1_{[a,b]}(x).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16c4b1433dd94ef4ffb8cc207d2272a75e018ec)
Moments, médiane, mode
L'espérance de la loi réciproque sur [a , b] est la moyenne logarithmique de a et b :
![{\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\mathrm {d} x={\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}=M_{\ln }(a,b).}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c136f2af0f249a679a80487e3c040c2bc11b76e2)
Sa médiane est la moyenne géométrique de a et b, en effet :
Caractérisation
Relation entre la distribution log-uniforme et la distribution uniforme
Une variable aléatoire positive X est distribuée de manière log-uniforme si le logarithme de X est distribué de manière uniforme, soit
Cette relation est vraie quelle que soit la base de la fonction logarithmique ou exponentielle. Si est distribué uniformément, alors il en est de même , pour deux nombres positifs quelconques . De même, si est distribuée de manière log-uniforme, alors il en est de même , où .
Par la varextropie
Pour une variable aléatoire X de densité fX continue, on définit la varextropie pondérée de X par :
alors X suit une loi réciproque si et seulement si [1].
Applications
La loi réciproque est d’une importance considérable dans l'analyse numérique, car les opérations arithmétiques d’un ordinateur, en particulier les multiplications et/ou divisions répétées, transforment les mantisses avec des lois initialement arbitraires en loi réciproque comme loi limite[2],[3].
