Loi de Birnbaum-Saunders

Cette loi a été développée pour modéliser les ruptures dues aux fissures. Un matériau est soumis à des cycles de contrainte répétés. Le j^ème cycle entraîne une augmentation de la fissure d'une valeur X_j. La somme des X_j suit par hypothèse une loi normale de moyenne nμ et de variance nσ². La probabilité que la fissure ne dépasse pas une longueur critique ω est

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leq \omega )=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)}$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Si T représente le nombre de cycles avant défaillance, alors la fonction de répartition de T est

${\displaystyle \mathbb {P} (T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{0.5}\right]\right)}$

La forme la plus courante de cette loi est :

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[{\sqrt {\frac {x}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\right]\right)}$

Ici, α est le paramètre de forme et β est le paramètre d'échelle.

La loi de Birnbaum-Saunders est unimodale avec une médiane égale à β^[1].

La moyenne (μ), la variance (σ²), l'asymétrie (γ) et l'aplatissement (κ) sont données par :

${\displaystyle \mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}}$

${\displaystyle \kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}$

Étant donné un ensemble de données que l'on suppose suivre la loi de Birnbaum-Saunders, les valeurs des paramètres sont mieux estimées par la méthode du maximum de vraisemblance.

Si T suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β, alors T⁻¹ suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β⁻¹.

Soit T une variable aléatoire suivant une loi de Birnbaum-Saunders de paramètres α et β. Une transformation utile de T est^[1]

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}\left[{\sqrt {\frac {T}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{T}}}\right]}$.

De manière équivalente

${\displaystyle T=\beta \left(1+2X^{2}+2X{\sqrt {1+X^{2}}}\right)}$.

X suit alors une loi normale centrée de variance égale à α²/4.

La formule générale de la fonction de densité de probabilité est

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu$ ;\gamma ,\beta >0}

où γ est le paramètre de forme, μ est le paramètre de position, β est le paramètre d'échelle, et ${\displaystyle \phi }$ est la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Le cas où μ = 0 et β = 1 est appelé loi de fatigue standard. La fonction de densité de probabilité de la loi de fatigue standard se réduit à :

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

Étant donné que la forme générale des fonctions de probabilité peut être exprimée en fonction des fonctions de la loi standard, toutes les formules suivantes sont données pour la forme standard de la fonction.

La formule de la fonction de répartition est

${\displaystyle F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0}$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

La formule de la fonction quantile est

${\displaystyle G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}}$

où Φ ^{− 1} est la fonction quantile de la loi normale centrée réduite.