Loi réciproque

La densité de probabilité de la loi réciproque est

${\displaystyle f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}1\!\!1_{[a,b]}(x)\quad {\text{ pour }}a>0.}$

Ici, ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont les paramètres de la distribution, qui sont les bornes inférieure et supérieure du support, et ${\displaystyle \ln }$ est le logarithme naturel. La fonction de répartition est

${\displaystyle F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}1\!\!1_{[a,b]}(x).}$

L'espérance de la loi réciproque sur [a , b] est la moyenne logarithmique de a et b :

${\displaystyle \mathbb {E} (X)=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\mathrm {d} x={\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}=M_{\ln }(a,b).}$

Sa médiane est la moyenne géométrique de a et b, en effet :

${\displaystyle F(m;a,b)={\frac {\ln(m)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow {\frac {m}{a}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow m={\sqrt {ab}}.}$