アーウィン・ホール分布

アーウィン・ホール分布は連続確率分布の一種であり、標準一様分布 ${\displaystyle U(0,1)}$ に従う独立同分布な ${\displaystyle n}$ 個の確率変数 ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ の総和

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}}$

が従う確率分布である。

${\displaystyle 0\leq x\leq n}$ での確率密度関数は次で与えられる:

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}}$

ただし、${\displaystyle (x-k)_{+}}$で

${\displaystyle (x-k)_{+}={\begin{cases}x-k&x-k\geq 0\\0&x-k<0\end{cases}}}$

を意味するものとした。

${\displaystyle k}$が整数なので、${\displaystyle (x-k)_{+}=(x-k)}$ となるのは ${\displaystyle k\leq \lfloor x\rfloor }$ となるときに限定される(${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$は床関数)。 したがって、${\displaystyle 0\leq x\leq n}$ におけるこの確率密度関数の別の表し方として

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(x-k)^{n-1}}$

という形が得られる。

この式からわかるように、この分布の確率密度関数は ${\displaystyle n+1}$ 個の制御点で規定される ${\displaystyle n-1}$ 次元のスプライン曲線(区分多項式関数)となる。実際、${\displaystyle 0\leq k<n,x\in [k,k+1]}$に限定すれば、確率密度関数は

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}}$

という形になる。ここで、係数${\displaystyle a_{j}(k,n)}$は以下の漸化式で与えられる:

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{n-j-1}&k>0\end{cases}}}$

アーウィン・ホール分布の期待値と分散は、標準一様分布のそれらを単に ${\displaystyle n}$ 倍したものとなる。具体的には、それぞれ ${\displaystyle n/2}$ と ${\displaystyle n/12}$ である。

• ${\displaystyle n=1}$ の時、アーウィン・ホール分布は標準一様分布そのものとなる:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• ${\displaystyle n=2}$の時、アーウィン・ホール分布は三角分布となる:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

• ${\displaystyle n=3}$のときは以下の式で与えられる区分的な2次関数で与えられる。

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2}}(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end{cases}}}$

• ${\displaystyle n=4}$のときは区分的な3次関数で与えられる。

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6}}(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2}+60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}}$

• ${\displaystyle n=5}$のときは区分的な4次関数で与えられる。

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4}-60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}-330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{cases}}}$