対数一様分布

正の確率変数 ${\displaystyle X}$ が対数一様分布に従う時、確率変数 ${\displaystyle \ln X}$ は一様分布に従う:

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b))}$

これを示すには${\displaystyle Y=\ln X}$(または同値の${\displaystyle e^{Y}=X}$)として確率変数の変数変換を適用すればよい:

${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(x)\left|{\frac {dx}{dy}}\right|={\frac {1}{x}}{\frac {1}{\ln(b/a)}}\left|{\frac {de^{y}}{dy}}\right|={\frac {1}{\ln(b/a)}}={\frac {1}{\ln(b)-\ln(a)}}}$

なお、この関係性は対数や指数関数の底がネイピア数でなくとも成立する。実際、${\displaystyle a,b\neq 1}$に対して、${\displaystyle \log _{a}(Y)}$が一様に分布しているとき、${\displaystyle \log _{b}(Y)=\log _{a}(Y)/\log _{a}(b)}$も一様に分布する。同様に、${\displaystyle 0<a\neq 1}$なる ${\displaystyle a}$ に対して、${\displaystyle e^{X}}$が対数一様に分布していれば${\displaystyle a^{X}=e^{X\ln(a)}}$も対数一様に分布する。

対数一様分布は、数値解析において極めて重要である。これは、初期に任意の分布を持つ仮数部が、計算機において算術演算(特に反復的な乗算・除算)を実行することで、極限的には対数一様分布に従うようになるためである。^[1]