逆正弦分布

母数

-\infty <a<b<\infty

台

x\in (a,b)

確率密度関数

f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}

累積分布関数

F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)

逆正弦分布
確率密度関数標準逆正弦分布の確率密度関数。
累積分布関数標準逆正弦分布の累積分布関数。
母数	$-\infty <a<b<\infty$
台	$x\in (a,b)$
確率密度関数	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$
累積分布関数	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$
期待値	${\frac {a+b}{2}}$
中央値	${\frac {a+b}{2}}$
最頻値	$x\in \{a,b\}$
分散	${\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}$
歪度	$0$
超過尖度	$-{\frac {3}{2}}$
特性関数	$\exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right)J_{0}\left({\frac {b-a}{2}}t\right)$ ただし $J_{0}(x)$ は第1種ベッセル関数
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逆正弦分布 (ぎゃくせいげんぶんぷ、英語: Arcsine distribution)は、確率論における確率分布の一種。特に、累積分布関数が逆正弦関数と平方根で特徴付けられる以下の形をもつものを指す:

F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)

ここで、 $a<b$ は実数である。また、 $x\in (a,b)$ での確率密度関数は

f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}

で与えられる。

逆正弦分布はウィーナー過程における逆正弦則（英語版）などのランダムウォークにおける本質的な性質を記述する。^[1]

母数として特に $a=0,b=1$ を選択した場合の逆正弦分布は標準逆正弦分布と呼ばれる。その確率密度関数は

f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}

で与えられ、累積分布関数は

F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)

となる。これはベータ分布の特別な場合であり、実際ベータ分布で $\alpha =\beta ={\frac {1}{2}}$ と母数を選択すると標準逆正弦分布と同一の確率密度関数を持つようになる。

性質

確率変数 $X$ が母数 $(a,b)$ を持つ逆正弦分布に従うとき、実数 $c,k>0$ によって変換された確率変数 $kX+c$ は母数 $(ak+c,bk+c)$ を持つ逆正弦分布に従う。
確率変数 $X$ が母数 $(-1,1)$ を持つ逆正弦分布に従うとき、確率変数 $X^{2}$ は母数 $(0,1)$ を持つ逆正弦分布に従う。
原点を中心とする半径 $r$ の円周上連続一様分布する点の $x$ 座標や $y$ 座標は、母数 $(-r,r)$ の逆正弦分布に従う。

特性関数

逆正弦分布の特性関数は、

\int _{a}^{b}{\frac {\exp(itx)}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}dx

により定義される。この積分は ${\sqrt {\frac {x-a}{b-x}}}=\tan \theta$ なる変数変換とベッセル関数におけるHansenの積分表示

J_{\nu }(z)={\frac {1}{\pi i^{\nu }}}\int _{0}^{\pi }\exp(iz\cos \theta )\cos(\nu \theta )d\theta

を組み合わせることで解析的に与えることができ、その結果は

\exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right)J_{0}\left({\frac {b-a}{2}}t\right)

となる。特に、 $b=-a$ の場合の特性関数は指数関数部分のない簡単な形 $J_{0}(at)=J_{0}(bt)$ となる。

表話編歴確率分布
離散単変量で有限台	ベンフォードベルヌーイベータ二項（英語版）二項 categorical（英語版）超幾何ポワソン二項ラーデマッハ（英語版）離散一様ジップジップ–マンデルブロー（英語版）
離散単変量で無限台	ベータ負二項（英語版）ボレル（英語版）コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）離散位相型（英語版）ドラポルト（英語版）拡張負二項（英語版）ガウス–クズミン幾何対数（英語版）負の二項放物フラクタル（英語版）ポワソンスケラム（英語版）ユール–サイモン（英語版）ゼータ（英語版）
連続単変量で有界区間に台を持つ	逆正弦 ARGUS（英語版）バルディング–ニコルス（英語版）ベイツ（英語版）ベータ beta rectangular（英語版）アーウィン–ホールクマラスワミー（英語版）ロジット-正規（英語版）非中心ベータ（英語版） raised cosine（英語版）対数一様三角 U-quadratic（英語版）一様ウィグナー半円
連続単変量で半無限区間に台を持つ	ベニーニ（英語版）ベンクタンダー第一種（英語版）ベンクタンダー第二種（英語版）第2種ベータ Burr（英語版）カイ二乗カイ（英語版） Dagum（英語版）デービス（英語版）指数-対数（英語版）アーラン指数 F folded normal（英語版） Flory–Schulz（英語版）フレシェガンマ gamma/Gompertz（英語版）一般逆ガウス（英語版） Gompertz（英語版） half-logistic（英語版）半正規 Hotelling's T-squared（英語版）超アーラン（英語版）超指数（英語版） hypoexponential（英語版）逆カイ二乗（英語版） scaled inverse chi-squared（英語版）逆ガウス逆ガンマコルモゴロフレヴィ対数コーシー対数ラプラス（英語版）対数ロジスティック（英語版）対数正規ロマックス（英語版）行列指数（英語版）マクスウェル–ボルツマンマクスウェル–ユットナー（英語版）ミッタク-レフラー（英語版）仲上（英語版）非心カイ二乗パレート位相型（英語版） poly-Weibull（英語版）レイリー relativistic Breit–Wigner（英語版）ライス（英語版） shifted Gompertz（英語版）切断正規タイプ2ガンベル（英語版）ワイブル離散ワイブル（英語版）ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で実数直線全体に台を持つ	コーシー（ローレンツ、ブライト・ウィグナー）指数冪（英語版）フィッシャーの z（英語版）ガウスの q（英語版）一般正規（英語版）一般化双曲型幾何安定（英語版）ガンベルホルツマルク（英語版）双曲線正割ジョンソンの S_U（英語版）ランダウラプラス非対称ラプラス（英語版）ロジスティック非心 t 正規 (ガウス) 正規逆ガウス（英語版）歪正規（英語版）スラッシュ安定スチューデントの t タイプ1ガンベル（英語版）トレイシー–ウィダム（英語版）分散ガンマ（英語版）フォークト
連続単変量でタイプの変わる台を持つ	一般極値一般パレート（英語版）マルチェンコ–パストゥール（英語版） q-指数（英語版） q-ガウス q-ワイブル（英語版） shifted log-logistic（英語版）トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量	rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)	【離散】エウェンズ（英語版）多項ディリクレ多項（英語版）負多項（英語版）【連続】ディリクレ一般ディリクレ（英語版）多変量正規多変量安定（英語版）多変量 t（英語版）正規逆ガンマ（英語版）正規ガンマ（英語版）【行列値】逆行列ガンマ（英語版）逆ウィッシャート（英語版）行列正規（英語版）行列 t（英語版）行列ガンマ（英語版）正規逆ウィッシャート（英語版）正規ウィッシャート（英語版）ウィッシャート
方向	【単変量 (円周) 方向】円周一様（英語版）単変数フォン・ミーゼス wrapped 正規（英語版） wrapped コーシー（英語版） wrapped 指数（英語版） wrapped 非対称ラプラス（英語版） wrapped レヴィ（英語版）【二変量 (球面)】ケント（英語版）【二変量 (トロイダル)】二変数フォン・ミーゼス（英語版）【多変量】フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）ビンガム（英語版）
退化と特異	【退化】ディラックのデルタ関数【特異】カントール
族	円周（英語版）混合ポワソン（英語版）楕円（英語版）指数自然指数（英語版）位置尺度（英語版）最大エントロピー（英語版）混合（英語版）ピアソン（英語版）トウィーディ（英語版） wrapped（英語版）
サンプリング法（英語版）	逆関数サンプリング法マルコフ連鎖モンテカルロ法（メトロポリス・ヘイスティングス法・ギブスサンプリング・スライスサンプリング）粒子フィルタボックス＝ミュラー法棄却サンプリングジッグラト法（英語版）マルサグリア法（英語版）
一覧（英語版）カテゴリ

性質

特性関数

脚注

参考文献

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