生産集合

生産ベクトルとは、経済内のすべての財について成分を持つベクトルで過程を表したものである。産出は正の成分（生産された量）で表され、投入は負の成分（消費された量）で表される。

例えば、経済内の財が（労働、トウモロコシ、小麦粉、パン）であり、製粉所が労働を1単位用いて10単位のトウモロコシから8単位の小麦粉を生産する場合、その生産ベクトルは (–1, –10, 8, 0) となる。半分の稼働率でも同量の労働を必要とするならば、ベクトル (–1, –5, 4, 0) も実際に可能な生産ベクトルである。こうした実際に可能なすべての生産ベクトルの集合が、その製粉所の生産集合となる。

生産ベクトル y と経済の価格ベクトル p が与えられるとき、内積 p·y は純産出の価値を表す。製粉所の所有者は通常、この量を最大化するように生産集合から y を選択する。p·y はベクトル y の「利益」と定義され、製粉所所有者の行動は「利潤最大化」と記述される^[1]。

以下の性質が生産集合について成り立つとされる^[2]。

• 非空性：生産者には少なくとも1つの行動可能性がある。常に成立。
• 閉性：生産集合はその境界を含む。技術的な性質であり、実際には常に成立。
• 可分性：もし各成分がすべての要素において非負か非正であるなら、生産集合は投入と産出に分離できる。通常、個別企業では成立するが、国民経済全体では成立しない場合がある。
• タダ飯はない（No free lunch）：何もないところから何かを生産することは不可能。数学的には、負の成分なしに正の成分を持つベクトルは存在しない。常に成立。
• 無為可能性：ゼロベクトルは生産集合に属する。すなわち、何も消費せずに何も生産しないことが可能。ただし実際には、休業や清算にも資源が必要であるため、厳密には成立しないことが多い。
• 自由廃棄（英語版）：もし y が生産集合 Y の要素であれば、より多くの投入を消費したり、より少ない産出を生むベクトルも Y に属する。これは有用なおおよその近似である。
• 単一産出：しばしば生産単位（例：製粉所）は1種類の産出を複数の投入から生産する。可分的な生産集合は、正の成分が1つだけの場合に単一産出を持つ。
• 労働消費：正の産出を持つすべての要素において、労働は通常投入される。
• 不可逆性：もし y ∈ Y かつ y ≠ 0 ならば、(–y) ∉ Y。実際には常に成立。
• 凸性：2つのベクトルが生産集合に属するならば、それらの中間点もすべて含まれる。しばしば近似的に成立するが、投入や産出が離散単位の場合には正確には成立しない。
• 加法性（自由参入（英語版））：産業や経済の生産集合に関して関連するが、単一の製粉所には該当しない。もしベクトル y と y' が可能なら、その和 y + y' も可能。自由参入は完全競争の仮定である。
• 規模に関する収穫と規模の経済：後述。

もし生産集合が可分で単一産出を持つならば、入力に対して得られる最大の産出量を与える関数 F(y) を構築できる。これが生産関数である。

また、生産集合が可分であれば、価格ベクトル p に基づいて「生産価値関数」f_p(x) を定義できる。x が貨幣量であれば、f_p(x) はコストが x である投入から得られる最大の産出価値となる。

一定の収穫とは、もし y が生産集合に含まれるならば、任意の正の λ に対して λy も生産集合に含まれることを意味する。収穫はある範囲で一定となる場合がある。例えば λ が 1 からあまり離れていない場合など。一般的な生産集合に対して、収穫逓増や収穫逓減を完全に満足に定義する方法は存在しない。

もし生産集合 Y が生産関数 F で表されるならば、収穫逓増は λ > 1 に対して F(λy) > λF(y) が成立し、λ < 1 に対して F(λy) < λF(y) が成立する場合を指す。収穫逓減はその逆条件である。