支出最小化

形式的には、支出関数は次のように定義される。消費者が ${\displaystyle L}$ 財に関する効用関数 ${\displaystyle u}$ を持つとする。このとき支出関数は、ある価格ベクトル ${\displaystyle p}$ において、少なくとも ${\displaystyle u^{*}}$ の効用を達成する財の組み合わせを購入するのに必要な金額を与える：

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq {u^{*}}}p\cdot x}$

ここで、

${\displaystyle \geq {u^{*}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u^{*}\}}$

は、少なくとも ${\displaystyle u^{*}}$ の効用を与える財の組み合わせ全体の集合である。

ヒックス需要は次のように定義される。

${\displaystyle h:\mathbb {R} _{+}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\to P(\mathbb {R} _{+}^{L})}$

${\displaystyle h(p,u^{*})={\underset {x\in \geq u^{*}}{\operatorname {argmin} }}\ p\cdot x}$^[1]

ヒックス需要関数は、所与の効用を達成する最も安い財の組み合わせを与える。これはマーシャル需要関数および支出関数と次の関係にある。

${\displaystyle h(p,u^{*})=x(p,e(p,u^{*})).\,}$

効用最大化問題における効用関数とマーシャル需要の関係は、支出最小化問題における支出関数とヒックス需要の関係に対応している。また、ヒックス需要やマーシャル需要が一意に定まらない場合（すなわち複数の財の組み合わせが支出最小化問題を満たす場合）、需要は対応であって関数ではない。このような場合は、局所非飽和を仮定すれば生じないため、需要は関数となる。