エンビー・フリー

ある資源を複数のエージェントに分け、各エージェント ${\displaystyle i}$ が取り分 ${\displaystyle X_{i}}$ を受け取るとする。各エージェント ${\displaystyle i}$ は、可能な取り分に対して個別の選好関係 ${\displaystyle \succeq _{i}}$ を持つ。配分がエンビー・フリーであるとは、すべての ${\displaystyle i}$ と ${\displaystyle j}$ について

${\displaystyle X_{i}\succeq _{i}X_{j}}$

が成り立つことを言う。

エンビー・フリーの同義語としてノー・エンビー（No envy）がある。

選好が価値関数 ${\displaystyle V_{i}}$ で表される場合、この定義は次と同値である。

${\displaystyle V_{i}(X_{i})\geq V_{i}(X_{j})}$

別の言い方をすれば、エージェント ${\displaystyle i}$ がエージェント ${\displaystyle j}$ を羨む（エンビーを感じる）のは、${\displaystyle i}$ が自分の取り分よりも ${\displaystyle j}$ の取り分を好むときであり、

${\displaystyle X_{i}\prec _{i}X_{j}}$

${\displaystyle V_{i}(X_{i})<V_{i}(X_{j})}$

となる。誰も他者を羨まないとき、その配分はエンビー・フリーである。

エンビー・フリーの概念は、1958年にジョージ・ガモフとマーヴィン・スターンによって導入された^[1]。彼らは、異質な資源であるケーキを、嗜好の異なる n 人の子どもに、誰も他者を羨まないように分けられるかを問うた。n=2 のときは分割と選択（英語版）アルゴリズムで可能だが、n>2 では問題ははるかに難しくなる。エンビー・フリーなケーキ分割（英語版）を参照のこと。

ケーキ分割では、EF とは各子どもが自分の取り分が少なくとも他のどの取り分よりも大きいと信じることを意味する。これに対し、雑用（不快財）の分割では、各エージェントが自分の取り分が少なくとも他のどの取り分よりも小さいと信じることを意味する（いずれも、誰も自分の取り分を他者の取り分と交換したいと思わないことが肝要である）。雑用の分割（英語版）を参照のこと。

エンビー・フリーは、1967年にダンカン・フォーリー（英語版）によって資源配分の経済学に導入された^[2]。この問題では単一の異質な資源ではなく複数の同質資源を扱う。エンビー・フリー自体は各資源を 1/n ずつ配れば容易に達成できるが、経済学的にはこれをパレート効率性と両立させることが課題となる。この課題はダビド・シュミドラー（英語版）とメナヘム・ヤーリ（英語版）により最初に定式化された^[3]。効率的エンビー・フリー分割（英語版）を参照のこと。

分割する資源が離散（不可分）である場合、たとえ資源が1個・人数が2人でもエンビー・フリーが達成不可能なことがある。この問題への対処として次の方法がある。

• 少ない価値の品を受け取った者に補償するため、参加者間で金銭移転を行う（例：家賃の調和問題（英語版）、エンビー・フリー価格設定（英語版））。
• 少数の品を分割（共有）する（例：調整勝者方式（英語版））。
• 近似的な公平を求める。エンビー・フリーなアイテム配分（英語版）を参照のこと。
• 部分的なエンビー・フリー配分を、できるだけ大きなサイズで求める。エンビー・フリー・マッチング（英語版）を参照のこと。
• 無作為化を用い、期待値の意味でエンビー・フリー（「事前（ex-ante）」）な配分を求める。公平なランダム割当（英語版）を参照のこと。

強エンビー・フリーは、各エージェントが自分の消費バンドル（消費計画）を他のどの消費バンドルよりも厳密に好むことを要求する^[4]。

超エンビー・フリー（Super envy-freeness）は、各エージェントが全体価値の 1/n を厳密に自分の消費バンドルより劣るとみなし、かつ 1/n を他の各消費バンドルよりも厳密に好むことを要求する^[4][5]。明らかに、超エンビー・フリー ⇒ 強エンビー・フリー ⇒ エンビー・フリー、の含意が成り立つ。

グループ・エンビー・フリー（Coalitional envy-freeness）はエンビー・フリーの強化であり、同じ人数の任意のグループ同士で、自分たちの配分の方が少なくとも同等に良いと各グループが感じることを要求する。より弱い要件として、各個人がどの他者の連合も羨まないことを求める場合があり、これは厳密エンビー・フリーと呼ばれることがある^[6]。

確率優越エンビー・フリー（SD-エンビー・フリー、必要エンビー・フリーとも）は、アイテムに対して順序選好のみを報告する設定での強化であり、その順序と整合的なあらゆる加法的評価についてエンビー・フリーが成り立つことを求める。すなわち、各エージェントは、自身の順序選好の応答集合拡張（英語版）に従って、他者の消費バンドルより自分の消費バンドルを少なくとも良いとみなすべきである。近似版の SD-EF1（「1アイテムまでの」SD-EF）はラウンドロビン配分（英語版）で達成できる。

正当化可能な嫉妬なし（No justified envy）は、学生-学校など両側が選好を持つ二者マッチング市場における弱化である。学生Aが学生Bに正当化可能な嫉妬を抱くのは、AがBに割り当てられた学校を好み、かつその学校がBよりAを好むときである。

事前（ex-ante）エンビー・フリーは、公平なランダム割当（英語版）で用いられる弱化である。この設定では各エージェントはアイテムのくじ（ロッタリー）を受け取り、割当が事前エンビー・フリーとは、誰も他人のくじの期待効用を自分のくじより高く評価しないことを言う。事後（ex-post）エンビー・フリーは、くじの実現結果のひとつひとつがエンビー・フリーであることを指す。明らかに、事後エンビー・フリー ⇒ 事前エンビー・フリー だが、逆は成り立たない場合がある。

局所エンビー・フリー^[7][8]（ネットワーク化エンビー・フリー^[9]、社会的エンビー・フリー^[10][11]）は、ソーシャル・ネットワークに基づくエンビー・フリーの弱化である。人々はネットワーク上の近隣（隣接）ノードの配分しか知り得ないと仮定し、そのため隣人に対してのみ嫉妬し得る。完全グラフの場合が標準のエンビー・フリーに相当する。

メタ・エンビー・フリーは、最終的な配分だけでなく、手続（プロトコル）における各自の目標に関しても互いに羨まないことを要求する^[12]。対称的な公平ケーキ分割（英語版）を参照のこと。

エンビー最小化は、エンビー・フリーが不可能な場合でも、（さまざまに定義され得る）嫉妬の量を最小にすることを目的とする最適化問題である。不可分財の配分で用いられるエンビー・フリーの近似概念については、エンビー・フリーなアイテム配分（英語版）を参照。