契約曲線

2財2主体の場合、契約曲線は以下のように求められる。ここで ${\displaystyle x_{2}^{1}}$ は財2の主体1への最終配分を示し、${\displaystyle u^{1}}$ と ${\displaystyle u^{2}}$ はそれぞれ主体1と主体2の効用水準、${\displaystyle u_{0}^{2}}$ は取引を行わなかった場合の主体2の効用、${\displaystyle \omega _{1}^{tot}}$ と ${\displaystyle \omega _{2}^{tot}}$ は財1と財2の総量である。

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})}$

制約条件:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

これは、利用可能な財の総量を超えないように2人に分配しつつ、主体2の効用を初期配分以上に保ちながら主体1の効用を最大化する問題である。この最適化により、主体1がすべての交渉力を持つ場合の効率的点が得られる。

契約曲線全体を描くには、次のように効用の加重平均を最大化する問題を考える。

${\displaystyle \max _{x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{1}^{2},x_{2}^{2}}b\cdot u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})+(1-b)\cdot u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})}$

制約条件:

${\displaystyle x_{1}^{1}+x_{1}^{2}\leq \omega _{1}^{tot}}$

${\displaystyle x_{2}^{1}+x_{2}^{2}\leq \omega _{2}^{tot}}$

${\displaystyle u^{1}(x_{1}^{1},x_{2}^{1})\geq u_{0}^{1}}$

${\displaystyle u^{2}(x_{1}^{2},x_{2}^{2})\geq u_{0}^{2}}$

ここでbの値を0から1の間で変化させることで、契約曲線上のすべての点を得ることができる。b=1の場合は主体1に有利な効率的点、b=0の場合は主体2に有利な効率的点となる。

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-510268-1