位置尺度分布族

位置尺度分布族 (いちしゃくどぶんぷぞく、英: location–scale family)は、確率論、特に数理統計学における確率分布の族の一つである。位置母数と非負なる尺度母数によってパラメトライズされる分布からなる族である。ある確率変数 ${\displaystyle X}$ の確率分布関数が位置尺度分布族に属せば、定数 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,b>0}$ により定義された別の確率変数 ${\displaystyle Y\,{\stackrel {d}{=}}\,a+bX}$ の確率分布関数もまた属する。ただし、 ${\displaystyle {\stackrel {d}{=}}}$ という記号で両者の確率分布が等しいことを意味するものとした。

別の定義方法として、累積分布関数からなる集合 ${\displaystyle \Omega }$ について、任意の元 ${\displaystyle F\in \Omega }$ と任意の実数 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ および ${\displaystyle b>0}$ に対して、累積分布関数 ${\displaystyle G(x)=F(a+bx)}$ もまた ${\displaystyle \Omega }$ に所属するとき、 ${\displaystyle \Omega }$ は位置尺度分布族である。

• ${\displaystyle X}$ の累積分布関数が ${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$ である時、 ${\displaystyle Y=a+bX}$ の累積分布関数は ${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$である。
• ${\displaystyle X}$ が離散確率変数であり、その確率質量関数が ${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$ である時、 ${\displaystyle Y=a+bX}$ の確率質量関数は${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$である。
• ${\displaystyle X}$ が連続確率変数であり、その確率密度関数が ${\displaystyle f_{X}(x)}$ である時、${\displaystyle Y=a+bX}$ の確率密度関数は ${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{b}}f_{X}\left({\frac {y-a}{b}}\right)}$である。
• ${\displaystyle X}$ の積率母関数が ${\displaystyle M_{X}(t)}$ の時、 ${\displaystyle Y=a+bX}$ の積率母関数は ${\displaystyle M_{Y}(t)=e^{at}M_{X}(bt)}$である。
• ${\displaystyle X}$ の特性関数が ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$ の時、 ${\displaystyle Y=a+bX}$ の特性関数は ${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{iat}\varphi _{X}(bt)}$である。

さらに、${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ がともに同一の位置尺度関数に属し、2次以下のモーメントが存在していて、 ${\displaystyle X}$ の平均が0、分散が1であれば、${\displaystyle Y}$ は ${\displaystyle Y\,{\stackrel {d}{=}}\,\mu _{Y}+\sigma _{Y}X}$ で表せる。ここで、${\displaystyle \mu _{Y}}$ と ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ はそれぞれ ${\displaystyle Y}$ の平均と標準偏差である。

決定理論においては、もしすべての選択肢の確率分布が同一の位置尺度分布族に属し、かつ最初の2つのモーメントが定義できる場合、平均分散分析を適用することができる。この下では、意思決定は分布の期待値と分散によって定式化できる。^[1][2][3]