等価変分

等価変分の値は支出関数${\displaystyle e(\cdot ,\cdot )}$を用いて次のように表される^[1]。

${\displaystyle EV=e(p_{0},u_{1})-e(p_{0},u_{0})}$

${\displaystyle =e(p_{0},u_{1})-w_{0}}$

ここで、${\displaystyle w_{0}}$ は初期時点の所得水準、${\displaystyle p_{0}}$ および ${\displaystyle p_{1}}$ はそれぞれ初期時点の価格と変化後の価格、${\displaystyle u_{0}}$ および ${\displaystyle u_{1}}$ はそれぞれ初期時点の効用水準と価格変化後の効用水準を表す。

さらに、所得水準が変化しない場合、${\displaystyle e(p_{0},u_{0})=w=e(p_{1},u_{1})}$ が成り立つ。なぜなら、初期時点の効用水準と価格変化後の効用水準のいずれにおいても、消費者はワルラスの法則により予算制約を使い切るためである。したがって、

${\displaystyle EV=e(p_{0},u_{1})-e(p_{1},u_{1})}$

が導かれる。ただし、この等式は消費者の所得水準が変化しない場合にのみ成り立つ特別なケースである（とはいえ非常に有用かつ広く利用される）^[1]。例えば所得水準が外生的に与えられず価格に内生的に決定される賦存経済の場合には成り立たない。

同様に、間接効用関数${\displaystyle v(\cdot ,\cdot )}$を用いると次のように表される。

${\displaystyle v(p_{0},w+EV)=u_{1}}$

これが上記と同値であることは、両辺において ${\displaystyle p_{0}}$ で支出関数を取ることで示せる。

${\displaystyle e(p_{0},v(p_{0},w+EV))=e(p_{0},u_{1})}$

${\displaystyle w+EV=e(p_{0},u_{1})}$

${\displaystyle EV=e(p_{0},u_{1})-w}$

上の3つの同値式の1つである。補償変分は、厚生変化を測定する近縁の指標である。